四维空间与质能方程

给高中生的狭义相对论(四)

前面几节由光速不变一下子跳到了任何运动的速度都无法超越光速,也简单地提到时间是四维空间的第四维,但是并不是以(x,y,z,t)的形式出现。这篇文章将通过四维空间的概念解答这一系列问题。

time_dilation_by_halonacc

从间隔不变性开始考虑,由光速不变原理,我们可以得到
f1f2是可以相比较的量。这两者之间的正负号区别不能省略。一个负数开方将得到虚数单位i,所以我们可以猜测时间与空间对应时以ict为对等,所以四维空间的时空矢量为(x,y,z,ict)。洛伦兹变换可以表示为一个变换矩阵,将一个坐标系的(x,y,z,ict)变为另外一个坐标系的(x’,y’,z’,ict’),就跟在三维空间中转动坐标轴所做的变换一样。

 

我们在高中力学中除了位移之外还学到速度、加速度、动量等,它们都可以有三维的表达式,在四维空间中,它们也需要新的表达式。考虑到我无法不用微积分和线性代数将这件事情讲明白,接下来的关于四维空间一些常见矢量的定义不再详细说明推导过程,大致的原则根源于四维协变量的定义,在文章末尾有简单的介绍。这些四维表达式,都必须满足在速度远小于光速时,相对论的结果与经典力学的结果一致。类似于时空坐标,这些四维矢量都由一个三维矢量和一个标量叠加而成。

1、四维速度f3

f4为三维空间中的速度,c为光速,i为虚数单位,f5。只考虑相对运动速度v,延x方向时,从一个惯性系速度变换到另一个惯性系速度的表达式为f6,有兴趣可以推导一下,当光源相对地面的运动速度为任意值时,其光相对地面的速度依然为c,不论光往哪个方向运动。当vx=v=c时,这是一个趋近于零/零的极限,然而无穷小和无穷小之间也是可以比较的,答案也是c。加速度并没有速度这样简单的表达式,因此加速度在相对论中没有牛顿力学中的地位。相对论中的力由动量决定,但是不再和加速度成正比关系,这也是高中物理非得介绍力的几种定义方法背后的原因。

2、相对论动量f7

f8为三维空间中的动量,W为能量。如果我们用四维速度定义四维动量,f9,因为速度的四个分量是简单的ic,所以动量的第四个分量是f10,也就是说f11。当v远小于光速时,可以近似为f12(这是高中数学缺乏的数学工具泰勒展开,不具体介绍了)。

 

非常明显,第二项就是熟悉的动能项,第一项mc2是个常数,我们称之为静止质量。在经典力学中,常数不重要,而在相对论中,这不再是可以省略的常数,它反映了能量与质量之间的重要关系,也常常被称为质能关系E=mc2。我曾见到好几个大学边上有餐馆以E=mc2命名了,由此可估计这条公式在人们心中的地位。核武器的理论基础也来源于此。鉴于狭义相对论的历史悠久性和相对简单,理论并不是制造核武器的困难所在,核原材料和具体的技术方法才是限制个人制造核武器的障碍。从能量的表达式上,我们可以看到为什么光速是所有物体的速度上限:当速度趋向于光速时,能量将无穷大,所以我们永远无法将一个有质量的物体加速到光速。反过来说,达到光速的光子静止质量为零。

3、四维势矢量f13

这是麦克斯韦方程组在相对论中表示所需要的矢量。因为超出高中物理太多,只介绍一点,前面三个分量跟磁场有关,后面第四个分量跟电场有关。电场可以用标量表示而磁场用矢量表示的原因在于电场有独立存在的电荷,而磁场没有独立存在的磁荷。这个矢量,多多少少暗示着孤立磁荷是不该存在的。

 

对狭义相对论更进一步的介绍将需要更多的数学工具,如张量和矩阵等概念,这将超越高中生的知识范畴,我们关于狭义相对论的介绍就止于此。

 

名词解释:
四维协变量

惯性系之间的变换相当于四维空间的转动。如果在洛伦兹变换这样的转动下,能保持不变的量称为四维协变量,它们可以是标量、矢量或者张量。已经介绍过的时空间隔s就是一个不变的标量。如果方程能写出协变量的表达式,那么这个方程所表达的物理规律就满足相对性原理。

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目前评论:3   其中:访客  3   博主  0

  1. avatar 不知 0

    沙发 虽然看的不太懂。不过支持作者的讲解。

  2. avatar 匿名 5

    不知 :沙发 虽然看的不太懂。不过支持作者的讲解。

  3. avatar idea博弈 0

    赞一个!另:有没有关于空间曲率的东西

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