量纲分析

摘要

量纲可以用于快速检验公式的正确性,只有等式两端的量纲相同,公式才合理。也只有量纲一致的条件下,物理量之间才可能进行加减操作。量纲分析是考场上记不清公式时的一根救命稻草。

【单位与量纲】系列文章之(五)

假如一个物理量只需要用长度和时间表达,那么它的单位将会是长度(Length)和时间(Time)的一定幂次,记为[L]a[T]b,这样的表达式就称为该物理量的量纲,其中的a和b称为量纲指数,可以为正负数。比如力=质量(Mass)乘以加速度,所以单位为kgm/s2,其量纲表达就为[MLT-2]。假如所有的幂次为零时,这个物理量就被称为无量纲数。量纲可以用于快速检验公式的正确性,只有等式两端的量纲相同,公式才合理。也只有量纲一致的条件下,物理量之间才可能进行加减操作。

量纲分析是考场上记不清公式时的一根救命稻草。自由落体公式中,s=gt2/2,假如记不得了,我们可以猜测自由落体与地球重力加速度有关,与时间有关,跟别的事情无关。s的量纲是长度[L],重力加速度的量纲是[LT-2],时间的量纲是[T],所以[L]= [LT-2]a[T]b=[L]a [T]b-2a,以[L]和[T]两个量纲分别列方程,对[L],推出a=1,对[T],推出b=2,所以s跟gt2成比例关系。这个例子比较简单,我们接下来利用量纲分析推出开普勒第三定律。

Kepler_law

开普勒定律是牛顿力学建立的重要基础,其中开普勒第三定律又称为周期定律,指行星绕太阳转动周期的平方与椭圆轨道长轴的立方成正比。我们现在忽略历史,假设我们处在牛顿的年代,刚被苹果砸了脑袋,意识到了引力的存在,想到了万有引力常数G。那么,量纲分析将帮助我们最快地验证自己的理论。首先,我们知道行星绕太阳转动有周期T,涉及时间[T],行星跟太阳有距离r,涉及长度[L],如果引力有作用,需要太阳质量m,涉及[M]。既然称为定律,那么对不同质量的行星都必须成立,所以行星质量可以不出现。假如周期的表达式写为T=f(m,r,G),G为万有引力常数,量纲为[M-1L3T-2](详细推导见说明)。我们将写下如下等式:

[T]=[M]a[L]b[M-1L3T-2]c=[T]-2c[M]a-c[L]b+3c

我们分别对[T]、[M]、[L]列方程:

1=-2c

0=a-c

0=b+3c

这时候,这样简单的方程组可以解出c=-1/2,a=-1/2,b=3/2;也就是说T正比于r3/2(Gm)-1/2,换个写法就是r3/T2正比于Gm。正比于一个固定的常数,也就是开普勒第三定律的数学表达。那么经过这样简单的运算后,我们就可以知道所设想的引力关系与天文观测吻合。

从上面两个例子可以看出,量纲分析能给我们公式的形式,当方程复杂并且涉及大量变量时,量纲分析的重要性就能体现出来,甚至可以应用于科研之中。量纲分析常应用的领域是流体力学。流体力学中,所涉及的量纲只有[T]、[M]、[L]三个;但是流体力学中的方程形式,往往特别复杂,涉及的物理多,并且难以直接从理论上推导。量纲分析定出几种方程的可能形式,将有助于对实验数据进行分析和拟合;定出合理的公式形式后,再通过实验数据给出等式两边成比例的系数或者常数。

从上面的方程推导过程中,我们可以猜测出,当方程里面出现指数、对数、三角函数等形式时,这些函数的自变量必须是无量纲的。如指数exp(x)= 1+x+x2/2+……+xn/n!,因为相加的各项必须量纲相同,所以,展开式的每一项都与无量纲数1的量纲相同,所以x只能是一个无量纲数。举例来说,统计物理的公式中经常出现exp(-E/kT),那么可以迅速判断玻尔兹曼常数k的单位一定是能量除以温度。对数和三角函数里面的变量一定为无量纲量的原因与指数一样:当函数被展开时,可以展开为变量不同幂次的累加。掌握量纲的规律,有助于验证和猜测复杂的公式。

有一些重要的物理量不存在量纲,比如流体力学中的雷诺数和瑞利数,前者决定了流体是否出现层流还是湍流,后者决定了流体中的热传播主要是对流还是传导。一些物理常数也可能是无单位的,如著名的精细结构常数,它由相对论中的光速、量子力学中的普兰克常数、电磁学中的电荷和真空介电常数定义,所有的单位互相抵消,数值为1/137.036。下面直接翻译wiki上的一段话来说明这个常数的重要性:“如果精细结构常数比它实际值大,我们无法区分物质与真空,我们也几乎无法去了解自然规律,精细结构常数是1/137是自然规律本身。作为一个无量纲数,它最重要的特点就是不管我们如何去定义单位,它的数值本身不受影响”。有些物理学家甚至认为,物理规律本质上不需要量纲。这个问题上我认识很肤浅,也就只是这么人云亦云。

物理量的单位和单位定义,是实验物理最根本的问题。历史上,人们由于未认识到各个基本物理量之间的联系,分别从长度、时间、质量等方面单独定义测量标准。随着对物理规律的了解,将来的单位定义将更多地通过一个基本物理量的测量和物理常数——如光速、普兰克常数、单位电荷、玻尔兹曼常数、阿伏加德罗常数等——来引出。可以预见的是,尽管通过玻尔兹曼常数(单位:能量/温度)和普兰克常数(单位:能量*时间)可以用时间单位定义温度单位,由于温度的开尔文温标的定义方式,温度的具体测量还将保持复杂的标准。

本系列文章从定义和测量的角度谈单位,并顺便介绍了量纲分析这个工具。单位和量纲系列到此结束,谢谢阅读。

 

说明:万有引力常数G的量纲

F=Gm0m1/r2,又因为F=ma,所以G的量纲与(ma r2/ m0m1)相同,为[M][LT-2][L]2/{[M][M]},化简后为[M-1L3T-2]。

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