世界杯比赛用球的物理

摘要

从物理的角度,足球表面由多少块面板组成,对球的飞行有什么影响吗?如果足球的表面不由多个面板组成,而是一个光滑的球面,是不是更有利于在空中飞行?想了解这类问题,我们需要流体力学的一些知识。球在空中飞行,因为空气的存在,相当于球在一个低粘度的流体中移动。

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足球表面通常由12个五边形和20个六边形、共32块面板缝合而成。你知道吗,2006年的世界杯用球Teamgeist有14块面板,2010年的世界杯用球Jabulani有8块面板,而2014巴西世界杯比赛用球Brazuca的表面只是由6个不规则的面板贴成。

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(从左到右为2006 Teamgeist,2010 Jabulani,2014 Brazuca。前两个图的来源为wiki,Brazuca的图片来源

从物理的角度,足球表面由多少块面板组成,对球的飞行有什么影响吗?如果足球的表面不由多个面板组成,而是一个光滑的球面,是不是更有利于在空中飞行?

想了解这类问题,我们需要流体力学的一些知识。球在空中飞行,因为空气的存在,相当于球在一个低粘度的流体中移动。

流体的特征是流动性,流体的各部分之间容易发生相对移动。我们熟悉的液体和气体都是流体。粘度可以表示流体的粘滞性,其大小代表了不同流速的流体层之间产生动量交换的难易程度。粘度越大,动量交换越容易。本质上,粘滞性来源于流体分子本身运动引起的动量交换。如果水的粘度是1,那么蜂蜜的粘度大约几千,而空气的粘度大约1/50。

当物体在有粘滞性的流体中移动时,它将受到粘滞阻力和压差阻力。当物体运动时,因为粘滞性将带动物体表面的部分流体一起运动,这种阻力称为粘滞阻力,它与物体的表面积和运动速度成正比。当物体运动时,它前方的流体受到挤压,后方的流体得到松弛,物体前后压差形成的阻力,称为压差阻力;它与物体的形状有关,简单情况下与运动速度的平方成正比。

物体在空中飞行,低速时粘滞阻力比较重要,高速时压差阻力比较重要。高速运动的车辆采用流线型设计就是为了减少压差阻力。什么时候粘滞力为主,什么时候压差阻力为主,取决于流体力学中的雷诺数。雷诺数远大于1时以压差阻力为主。雷诺数就不具体介绍了,它随速度增大,对于可能达到100公里/小时速度的足球,雷诺数在10^5量级,所以足球的飞行主要考虑压差阻力。

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(左图:中速情况,尾流扩大,阻力较大。右图:高速情况,尾流因湍流开始形成而缩小,当湍流完全形成时尾流将逐渐扩大,空气阻力将继续增加。尾流变大可以理解为球后方的压力减小,阻力增加。图片来源

下图中的Cd可以理解为空气阻力(实际上跟空气阻力有换算关系)。实线代表了光滑的球面,虚线代表某一粗糙球面。可以看到,当速度增大时(相应的雷诺数Re也增大)。粗糙的球在雷诺数10^5附近受到的空气阻力更小,而雷诺数10^5附近正对应通常足球飞行时的速度。粗糙的球可以在一定速度范围阻力更小的原因是:球表面影响了气流分布,粗糙表面容易降低球前后的压力差,从而减少空气阻力。也就是说,对于正常速度的足球,光滑的足球速度下降得快。

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(光滑表面与粗糙表面对空气阻力的影响。图片来源

所以——我们回到世界杯用球上——常规的32面板缝合,或2014巴西世界杯的6面板粘合,对球飞行的影响不取决于面板数目,而取决于表面粗糙度。主要是面板与面板之间缝隙的深度,也包括了面板表面的粗糙度。2010 Jabulani的缝深约0.5毫米,常规足球的缝深约1毫米,而2014 Brazuca的缝深约1.5毫米。考虑到缝的长度(Jabulani约2.0米,常规足球约4.0米,Brazuca约3.3米),可以想象2010 Jabulani最接近于光滑球面,空气阻力最大。具体测量数据如下图:Jabulani的空气阻力在一定速度范围内明显大于常规32面板的足球和2014的世界杯用球Brazuca。因此,2010世界杯用球在初步设计出来之后,发现球过于“圆”,还在球表面添加了一层胶增加粗糙度。尽管足球是“圆”的,飞行时本来就受各种不确定性影响,但是运动员更习惯于与训练用球运动轨迹类似的比赛用球。从这个角度考虑,2014年巴西世界杯的比赛用球还不错。

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(比起Brazuca和普通足球,Jabulani球速阻力变化点的数值大,Jabulani的速度下降会更加突然。图片来源

球的光滑与否不仅影响它在空气中受到的阻力,还将影响球的轨迹。当球面比较光滑时,球不容易旋转,这时候空气中局部气压的不确定性或者球的微弱不对称性可能给予球一个侧向压力,球容易飘,有难以预测的轨迹,不利于球员的稳定发挥。这样的球可以走S形轨迹。以空气中局部气压不确定性为例,光滑的球可能因一整块面板的表面气流突然变化,影响到某一方向的压强。以球的不对称性为例,假如球的一侧比另外一侧略微粗糙,受到的阻力略大,这时候球将受到一个侧向的力:如果球完全不旋转,这个力将逐渐改变球的轨迹,如果球有微量旋转,如在飞行过程中球面旋转180度,这时候球将往新的一侧偏离原有轨迹。如果球高速旋转,球的不完美对称不会明显影响球的运动轨迹。当球高速旋转时,还有新的物理量要考虑,因为球的两侧与空气相对运动速度不同,将引起两侧之间的压强差,球会固定往某一侧偏离直线轨迹,这样的球带有明显的弧线。

以上只考虑了现实中足球飞行的部分情况,很多细节没有讨论,比如足球上面板的形状如何影响球表面的气流走向、足球在开始飞行后形变的恢复等。更具体的研究需要风洞实验。不过,我们可以简单地得到一个结论:太完美的足球飞不远。

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