从两个基本假设开始

摘要

本系列文章是关于狭义相对论的科普,预设的读者是对物理感兴趣的高中毕业生,因此文章中将尽量不出现数学公式和过多的物理术语。部分必须出现的术语将在文章末尾的“名词解释”部分简单阐述。

给高中生的狭义相对论(一)

Relativity

本系列文章是关于狭义相对论的科普,预设的读者是对物理感兴趣的高中毕业生,因此文章中将尽量不出现数学公式和过多的物理术语。部分必须出现的术语将在文章末尾的“名词解释”部分简单阐述。

相对论与量子力学是现代物理的两大支柱,前者取代了高速运动下的经典物理,后者取代了微观下的经典物理。相对论在现实生活中的应用远少于量子力学,但似乎相对论更被科学爱好者所熟知,这也许跟其创建者爱因斯坦的传奇经历有关,也跟相对论的入门知识比较系统化有关。相对论分为狭义相对论与广义相对论,前者讨论的是做匀速运动的惯性参照系,后者讨论做任意运动的参照系。受限于数学工具,在这里我将只介绍狭义相对论。关于狭义相对论产生的思想根源将在此系列文章的最后一篇“牛顿时空观的局限与广义相对论”中介绍。

爱因斯坦在实验观察的基础上,提出了狭义相对论的理论假设,人们将之归纳为相对性原理和光速不变原理。相对性原理比较符合人们的理解,也符合物理学家的美感,毕竟物理学是寻找规律的科学。光速不变原理则完全颠覆了经典认识,但是,基于实验观察,麦克斯韦方程组(详见名词解释)的结论被一一验证了,所以我们必须承认光速不变,并把它作为理论的基石。

相对性原理:物理学的定律在所有惯性系中具有不变的形式。

光速不变原理:光的传播速度为常数c,与惯性系的运动速度无关,或者说,跟光源的速度无关。

我们这一系列的故事里需要地面,一辆火车,一辆玩具车,一位乘客,一只蚂蚁。火车在地面上匀速地开往前方,车厢里面乘客坐着,看着一辆载着蚂蚁的玩具车在车厢里面朝火车头方向匀速运动。火车的速度是50米/秒,乘客看见玩具车的速度是1米/秒。我想大家应该可以达成共识,玩具车对于地面的速度是51米/秒。

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图零:经典力学速度叠加示意图,运动的火车里有一个静坐的乘客和一辆行驶的玩具车。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。)

我们开始从相对性原理和光速不变原理开始考虑我们经典思维的矛盾之处。在下面的讨论中,依据图一的示意图讨论,这时候的乘客和蚂蚁都当成一个没有体积的点,他们在坐标轴y和z上是重合的,从车厢内看,乘客静止,使用一个跟车厢相同的x轴,我们称之为x1,蚂蚁运动,它使用的x轴我们成为x2。当x轴上蚂蚁经过乘客的瞬间,蚂蚁、乘客和灯泡因为都是质点,在y轴和z轴上重合,在某个时间点,这三个物体空间上重合在一起。灯泡的x轴我们用x3表示,在接下来的讨论中,我们会发现,x3的定义方式不重要,灯泡跟着乘客静止也好,跟着蚂蚁运动也好,甚至以任意速度运动也好,我们得到的结论是一样的。当蚂蚁、乘客和灯泡三者在空间中位置重叠时,灯泡亮了无限短的时间,于是灯泡产生一个光点。光随时间从一个点变成一个光球面,并且光球面逐渐扩大,随着时间向远方传播。

当玩具车经过乘客的瞬间,小灯泡在蚂蚁和乘客交叠的位置上亮了一下。对于乘客而言,灯泡发出的光波是以乘客为中心的一个球面,这个球面沿着径向前进的速度就是光速c,这一点大家都可以想象得到。那么,由于相对性原理,蚂蚁也觉得那一瞬间发出的光波也是一个球面。假如蚂蚁不动,蚂蚁和人的感觉到一模一样的球面在向远方延伸。然而,蚂蚁在玩具车上,蚂蚁惯性系里面的球面永远以随玩具车运动着的蚂蚁为球心,跟乘客惯性系里面的球面只会重叠一次。因为光速不随惯性系改变,蚂蚁和乘客各自有不同的光球面,在这个问题上没有统一的认识。同样的一个光源,在相对运动的两个观察者眼中,形成了两个不一样的光球面。

这似乎没有什么大不了的,但是我们现在假如玩具车的车头有一个光探测器,蚂蚁和探测器的距离为d,那么在玩具车的惯性系里面,探测器将在d/c的时间间隔后探测到信号。在乘客的惯性系里面,他的光球面与蚂蚁的光球面不重叠,将在更晚的时间后才能被探测器感知。探测器探测到了一个光信号这件事情,本来是一件单一而确定的事情,然而,根据相对论,光探测这件事情在两个参照系中并不会同时发生。不同的光球面将造成蚂蚁和乘客对时间认识的不统一。

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图一:蚂蚁和乘客重叠时灯泡发光,蚂蚁、乘客和灯泡被认为体积无限小,只占据空间一个点,并且它们在y轴和z轴上的位置是重合的;

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图二:红圈的半径除以光速表征了蚂蚁的惯性系中光波球面到达探测器的时间,绿色的线代表了探测器所在位置;

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图三:篮圈的半径除以光速表征了乘客的惯性系中光波球面到达探测器的时间。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。)

上面的例子比较的是一个事情发生的时刻,但是我们在生活中更多体会到的是时间长短,也就是两个时刻的间隔,我们接下来考虑玩具车的顶部可以安置一面镜子。蚂蚁手中一个光源向镜子发射光波,蚂蚁和镜子的距离为L,那么发出信号到接收信号的时间在蚂蚁的惯性系里面是2L/c,如图四所示。但是在乘客眼中,这个探测器是一直往前走的,乘客眼中的光路如图五所表示,可以想象,乘客眼中这件事情发生的时间间隔必然比蚂蚁眼中的时间间隔来得大。这个例子给出了相对论与经典力学的矛盾之处,经典力学中,因为速度可以叠加,所以从不同角度看这个问题时,虽然看到的光路行进距离不一样,但是速度也是不一样的,因此蚂蚁和乘客感觉到的时间间隔是一致的。比如说,在开篇的例子中,玩具车对于车厢的速度是1米/秒,而对于地面的速度是51米/秒。而相对论中,因为光速不变,所以对于乘客和蚂蚁,他们不存在一个统一的绝对时间。假如我们是地面上的旁观者,我们也将感受到与乘客不一样的时间,上面讨论的乘客和蚂蚁的例子可以适用于任何做匀速运动的惯性系。

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图四:蚂蚁惯性系中发射和接收的时间间隔;图五:乘客惯性系中发射和接收的时间间隔。因为光速不变,乘客惯性系去衡量蚂蚁惯性系的事件时,将获得一个放大的时间,即所谓的时间膨胀。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。)

在上面的描述中,蚂蚁和乘客不是完全对等的。蚂蚁的惯性系中,它用在同一个位置的钟衡量发射和接收这两个时间间隔。在乘客的惯性系中,他用两个不同位置的钟衡量时间间隔。蚂蚁的钟在这个例子中是特别的,被称为本征时间间隔,因为这个钟在其参照系中位置不变,不受位置变化的影响。本征时间间隔是最短的时间间隔。在狭义相对论中,经典理论的“同时”不再一定是绝对的,两事件之间“时间间隔”也不再一定是绝对的,在不同参照系之中,最特殊的那个间隔最短,称为本征时间间隔。

在这篇文章中,我们从相对论的两个基本假设开始,导出了相对论中时间膨胀的概念。简单地说,运动的钟走得更慢。这个已经被大量的高能实验所证实,比如能衰变的粒子,在高速运动中的寿命更长。接下来,我们将介绍长度收缩的概念。

(感谢心蛛、铁冰、七是、飞蠓和叮当蓝色鱼阅读此文章初稿,指出不足之处和提供修改意见。)

名词解释(给有兴趣深究的朋友们)

参照系

参照系指的是一个参照空间和里面计时的钟,比如说一辆车子和车内的时钟。机械运动通常指的是物体A位置在空间的变化,然而我们需要一个对照的物体B才能知道A的运动。通常我们以地面作为参照物,人行走时便相对地面运动了,连接于地面的三维空间为参照空间,也常常忽略“钟”的概念直接称为参照系。如果人坐在密封的行进火车里,对比基于火车的参照系,人是静止的,对比基于地面的参照系,人是运动的。我们常常用一个参照系里面的三组直角坐标系来定义一个物体的位置,在火车中,我们可以拿车厢的一个角落作为原点(0,0,0),以车厢的长、宽、高定义三个坐标轴,以车厢内的时钟来衡量时间流逝的快慢。这个“钟”的概念是广义的,不受限于计时的技术方式,可以是单摆钟,也可以是原子钟。上面的例子中,人在火车的坐标系中,其坐标不随时间改变,在基于地面的坐标系中,其坐标至少有一个随时间改变。

惯性系/惯性参照系

牛顿第一定律存在的参照系。牛顿第一定律:物体保持静止或者沿直线做匀速运动的状态,除非有外力迫使它改变状态。简单地说,惯性参照系是经典力学可以适用的参照系。有时候也简称为惯性系。马赫提出,惯性系就是相对于整个宇宙平均加速度为零的参照系。常用的KF4惯性系就是基于1535颗恒星平均静止位型的参照系。为什么需要在参照系之外考虑惯性系?想想我们常作为惯性系的地球,由于地球自转,赤道上的100米高空上自由落体下降时会偏东2厘米,这就是参照系不完全满足牛顿第一定律的例子。如果我们以太阳为惯性系,地球可以被认为是一个转动的参照系,而不是惯性系,那么落体偏东问题就可以在经典力学的领域得到理解。

麦克斯韦方程组:

一组描述电磁学基本规律的方程组,由麦克斯韦提出。在静电学和静磁学的基础上,科学界认识到了变化着的电场和磁场可以互相激发,并且在理论上预言了电磁波的存在,指出光就是一种电磁波,电磁波在真空中的速度为光速。在麦克斯韦方程组中,电磁波的速度表达式与参照系无关,暗示着光速在任何参照系都是等大的,更详细的说明见本系列文章最后一篇“牛顿时空观的局限与广义相对论”。麦克斯韦方程组中电的部分和磁的部分不是对称的,因为在实验上,独立的电荷早已为人熟知,但是孤立的磁荷并不存在。然而,麦克斯韦方程组的物理意义在电荷磁荷之上,它揭示了电磁场可以是独立于电荷外的独立存在,有自己的能量和动量。

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