碰撞出来的圆周率(二)

摘要

假设物体A质量为m,物体B质量为M,令k为M/m的(正)平方根,也即k2=M/m。为了一般性起见,我们不要求k是10的幂,甚至不要求k是整数,只要求k≥1,也即A的质量不大于B。在整个过程中,物体A的速度v(t)和物体B的速度V(t)都是时间t的函数,我们令向左的速度为正速度,这样向右的速度就被表示为负的。

题图

先来看物理部分。

假设物体A质量为m,物体B质量为M,令k为M/m的(正)平方根,也即k2=M/m。为了一般性起见,我们不要求k是10的幂,甚至不要求k是整数,只要求k≥1,也即A的质量不大于B。在整个过程中,物体A的速度v(t)和物体B的速度V(t)都是时间t的函数,我们令向左的速度为正速度,这样向右的速度就被表示为负的。假设物体B初始的(向左的)速度为W。整个过程中动能守恒,于是在任意时刻t我们都有
1/2MV(t)2+1/2mv(t)2 = 1/2MW2
也即
(V(t)/W)2+(v(t)/(kW))2 = 1
这意味着在任何时刻t,点(V(t), v(t))都处于一个固定的椭圆上。如果我们作一个拉伸变换,定义新的关于t的函数x(t)=V(t)/W,y(t)=v(t)/(kW),上面的公式就变成了
x(t)2+y(t)2 = 1
也就是说不同时刻t所对应的p(t)=(x(t), y(t))都处在以原点为中心,以1为半径的圆上。

1

坐标系

我们注意到,当在某段时间t1到t2之间没有发生过碰撞,那么这段时间里的v(t)和V(t)都是不变的,于是这段时间里点p(t)也是不变的。在整个过程中只会发生有限次碰撞,所以p(t)在坐标系中的图像将只有有限个点。下面我们将考察在某次碰撞前后,点p(t)会怎样变化。

如果是物体A和墙的碰撞,那么在碰撞前A向左运动,碰撞后则向右运动,而速度大小相同;物体B则保持原来的运动状态。这意味着在碰撞前p(t)处于x轴上方,碰撞后则处于x轴下方,和原来的点以x轴对称。

2

物体A和墙的碰撞

如果是物体A和B的碰撞,那么在碰撞前A必定静止或是在向右运动,不存在A和B都向左运动且B的速度大于A而与A相撞的可能(证明略,只指出一点:如果A正在向左运动,表明前一次碰撞发生在A和B之间),这意味着在碰撞前p(t)处于x轴上或是在它的下方。碰撞前后动量守恒,即
MV(t)+mv(t) = C
其中C在碰撞前后是个常数。如果将上式两边都除以MW/k,我们得到
kV(t)/W+v(t)/(kW) = kC/(MW)
也即碰撞前后
kx(t)+y(t) = kC/(MW)
上式等式的右边还是一个常数。这意味着碰撞前后的p(t)在同一条斜率为-k的直线上。综合上述结论,碰撞前后的p(t)的图像变化应该如下图所示,其中虚线的斜率为-k。

3

物体A和物体B的碰撞

于是我们就得到了整个过程中p(t)变换模式:从点(1, 0)开始(对应着B刚开始以速度W向左运动,还未撞上A时的状态),交替地以斜率为-k的直线和以平行于y轴的直线成之字形在圆周上截出的点。下图是k=3时的情形。每一条蓝色虚线段代表一次碰撞,箭头方向则代表了此次碰撞前后系统状态(即点p(t))转换的方向。

4

k=3时的图像

于是碰撞次数就是蓝色虚线段的数量,或者说是圆周上的p(t)图像的点数减1。这样,一个物理问题被转化为一个几何问题:从点(1, 0)开始,按照上述方法,交替地以斜率为-k的直线和以平行于y轴的直线成之字形在圆周上截出的点会有几个?而这个问题,即便从直觉上也可以感到它会和圆周率π很有关系。

顺便要指出的是,我们发现转换后的问题仅和k的值有关,或者说仅和物体B和物体A的质量比有关,而和物体A和物体B的具体质量、初始的推动速度W或是物体A和墙的距离等值无关。

(原文链接:http://www.jianshu.com/p/b9d3d4918ca7

您还未添加分享代码,请到主题选项中,添加百度分享代码!

您可以选择一种方式赞助本站

安安以迁迁

发表评论

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen:

图片 表情