负负为何得正(下)

摘要

也许我们还应该补充说明一下为什么我们希望被推广后的乘法有左右分配律,为什么它们是重要的。首先,自然数乘法具有左右分配律和交换律。我们当然希望推广到整数的乘法能够保持尽量多的原运算所具有的性质。其次,左右分配律是联系加法和乘法的纽带。在整数上有加法和乘法,我们希望它们能够“合作得好”,而不是各自管各自,没有什么联系。

题图四、负负得正的“证明”

先让我们来看下面这个“负正得负,正负得负,负负得正”的“证明”,为了方便起见我在每一步推导后给出了标号和理由,同一个理由使用相同的标号:

设a,b为自然数,欲证(-a)×b = -(a×b),a×(-b) = -(a×b)及(-a)×(-b) = a×b。

首先我们有结论A:
a×b+(-(a×b))
= 0   (①一数与其负数相加为零)
然后有结论B:
a×b+(-a)×b
= (a+(-a))×b   (②整数乘法对加法的右分配律)
= 0×b   (①一数与其负数相加为零)
= 0   (③自然数乘零为零)
于是
a×b+(-a)×b = a×b+(-(a×b))   (结论A和B)
所以有结论C也即负正得负:
(-a)×b = -(a×b)   (④两数加上同一数后相等,原两数也相等)

类似地我们有结论D
a×b+a×(-b)
= a×(b+(-b))   (⑤整数乘法对加法的左分配律)
= a×0   (①一数与其负数相加为零)
= 0   (③自然数乘零为零)
于是
a×b+a×(-b) = a×b+(-(a×b))   (结论A和D)
所以有结论E也即正负得负:
a×(-b) = -(a×b)   (④两数加上同一数后相等,原两数也相等)

接下去我们有结论F
(-a)×(-b)+(-a)×b
= (-a)×((-b)+b)   (⑤整数乘法对加法的左分配律)
= (-a)×0   (①一数与其负数相加为零)
= (-a)×0+0    (⑥加零结果不变)
= (-a)×0+a×0   (③自然数乘零为零)
= (a+(-a))×0   (②整数乘法对加法的右分配律)
= 0×0   (①一数与其负数相加为零)
= 0   (③自然数乘零为零)
于是
(-a)×(-b)+(-a)×b = a×b+(-a)×b   (结论B和F)
最终得到结论G也即负负得正
(-a)×(-b) = a×b   (④两数加上同一数后相等,原两数也相等)

上面的“证明”是否有足够的说服力来说明负负得正?也许。但从数学上来说,这个“证明”把定义和性质颠倒过来了。正如第二节开始说的,是先有“负正得负,正负得负,负负得正”这样的规定,然后才以此证明整数乘法具有交换律及对加法的(左/右)分配律等性质。用后者去证明前者,就有点循环论证的味道了。

但前面这个“证明”并不是没有价值的。让我们来分析一下这个推理过程中用到的6条理由:

  • ①一数与其负数相加为零
  • ②整数乘法对加法的右分配律
  • ③自然数乘零为零
  • ④两数加上同一数后相等,原两数也相等
  • ⑤整数乘法对加法的左分配律
  • ⑥加零结果不变

其中①④⑥只涉及到整数的加法性质,③只涉及到自然数的乘法,这几个性质都是在将自然数乘法推广成整数上的乘法前就确定下来了。无论怎样对自然数乘法作推广,这几条总是成立的。而理由②和⑤,也即整数乘法对加法的左右分配律,则并非所有在整数上对自然数乘法作推广都能满足。

上面的“证明”其实是说,如果有一个整数上的运算(记作⊗),它是自然数乘法在整数上的推广(也就是说,它作为在自然数上的运算和自然数的普通乘法相同,即对任意自然数a和b,有a⊗b=a×b),而且它还满足对整数加法的左分配律和右分配律,也即对任意整数a,b和c,有a⊗(b+c) = a⊗b+a⊗c(左分配律),以及(a+b)⊗c = a⊗c+b⊗c(右分配律),那么把上面的“证明”中的×改成⊗,就证明了运算⊗必然满足“负正得负,正负得负,负负得正”,也即⊗运算不是别的,正是普通乘法。

如果我们把上面的满足“左右分配律”中的左分配律去掉,代之以交换律,也即对任意整数a和b我们都有 a⊗b = b⊗a,那么通过剩下的右分配律,加上交换律,我们仍能推出左分配律,于是仍能推出⊗就是普通乘法的结论。类似地,如果改为⊗满足左分配律和交换律也一样。

这就是说,如果⊗是一种对自然数乘法在整数上的推广,在乘法对加法的左分配律、右分配律和乘法的交换律三个性质里,只要⊗满足其中的两个,那么它就是自然数的普通乘法。

通过上面的说明,现在我们大概可以说服司汤达了:在乘法对加法的左分配律、右分配律和乘法的交换律三个性质里,只要觉得其中有两个是必需的,那么负负就必须得正。

五、分配律的重要性

也许我们还应该补充说明一下为什么我们希望被推广后的乘法有左右分配律,为什么它们是重要的。

首先,自然数乘法具有左右分配律和交换律。我们当然希望推广到整数的乘法能够保持尽量多的原运算所具有的性质。其次,左右分配律是联系加法和乘法的纽带。在整数上有加法和乘法,我们希望它们能够“合作得好”,而不是各自管各自,没有什么联系。

从代数学的角度来看,左右交换律是比“负数”概念更基本的性质,它可以推广到更为抽象的数学结构上去。

整数之所以能够被分为“正数”和“负数”以及“零”三个部分,是因为在整数集上有一个序结构,也就是各整数之间可以比大小,于是我们就把大于零的那些叫“正数”,把小于零的那些叫“负数”。但是在更为一般的数学对象中,比如复数集,比如系数为整数(或有理数、实数、复数等)的一元多项式集合,或是元素为整数(或有理数、实数、复数等)的n×n矩阵的集合中,尽管还能够定义加法和乘法,但象整数中的这种序结构却不存在,无法将其中元素分成正负两大类。但因为乘法的左右分配律,这些集合上的乘法还是满足“负负得正”的性质,只是此时的“负负得正”应该理解成“a的加法逆元乘以b的加法逆元等于a乘以b”。

事实上,上面我们举的具有加法和乘法的复数集、一元多项式集合和n×n矩阵集合,都是一种叫做环的数学结构,在某种程度上可以看作是对具有加法和乘法的整数集(叫整数环)的推广。环的定义分为三部分,一部分是加法的性质,一部分是乘法的性质,最后一部分是加法和乘法的联系——不出所料,这第三部分不多不少,就是由乘法对加法的左右分配律组成。

中文维基百科中环的定义。此定义形式并不严格,在此只为说明左右分配律的重要性

六、最后的抬杠

当然,我们也可以想象司汤达还继续问下去:“我并不觉得那三个性质是必需的,我只觉得交换律是必需的,而无所谓左右分配律是否成立,那么负负得正吗?”

那么,这时就可以找出整数的并不是负负得正的“乘法”来了。如果这样定义运算⊗:对任意两个整数a和b,如果a和b都是自然数,则a⊗b=a×b;如果a和b中有一个是负数,那么a⊗b=-(a×b)。我们就得到了一个满足交换律却负负得负的“乘法”:如果a和b都是负数,那么a×b是正数,而a⊗b=-(a×b)则是负数。当然,这样的“乘法”再也不可能满足对整数加法的左分配律和右分配律,比如:
(-2)⊗(1+(-1)) = (-2)⊗0 = -(2×0) = 0

(-2)⊗1+(-2)⊗(-1) = (-(2×1))+(-(2×1) ) = (-2)+(-2) = -4
所以
(-2)⊗(1+(-1)) ≠ (-2)⊗1+(-2)⊗(-1)

如果不选交换律,选只有左分配律成立呢?我们也同样可以定义出一个运算⊗来:对任意两个整数a和b,如果a是自然数,则a⊗b=a×b;如果a是负数,那么a⊗b=-(a×b)。它满足对加法的左分配律,因为对任意整数a,b和c,如果a是自然数,那么
a⊗(b+c) = a×(b+c) = a×b+a×c = a⊗b+a⊗c
而如果a是负数,那么
a⊗(b+c) = -(a×(b+c)) = -(a×b+a×c) = (-(a×b))+(-(a×c)) = a⊗b+a⊗c
当然,它不会再满足交换律和右分配律了,例子大家可以自己举。它是负负得负的:如果a和b都是负数,那么a×b是正数,而a⊗b=-(a×b)则是负数。

只选右分配律成立当然也可以类似论证。

七、结论

于是我们可以说,负负得正的乘法在实际中非常有用。而对于象司汤达这样从数学方面对负负为何得正有疑问的人,我们可以回答:整数乘法对加法的左分配律、右分配律和乘法的交换律这三个性质里,如果觉得至少应有两样成立,那么这样的乘法,只有唯一一种,就是我们平时用的负负得正的普通乘法。而对这三个性质,尤其是左右分配律,我们有很好的理由希望它们继续成立。如果他有相当个人的看法,表示并不在乎这些性质是否成立,或只在乎其中之一成立,那么我们的回答是:是的,在这种情况下,你完全可以定义出负负未必得正的“乘法”来——但这也只能算是相当个人的“乘法”了。


参考文献
[1] Stendhal, Vie de Henri Brulard (Nouvelle édition augmentée), Arvensa Editions (2015).

 

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